Question

在某校教師趣味投籃比賽中，比賽規(guī)則是：每場(chǎng)投6個(gè)球，至少投進(jìn)4個(gè)球且最后2個(gè)球都投進(jìn)者獲獎(jiǎng)；否則不獲獎(jiǎng)．已知教師甲投進(jìn)每個(gè)球的概率都是．
（Ⅰ）記教師甲在每場(chǎng)的6次投球中投進(jìn)球的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）求教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率；
（Ⅲ）已知教師乙在某場(chǎng)比賽中，6個(gè)球中恰好投進(jìn)了4個(gè)球，求教師乙在這場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率；教師乙在這場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率與教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率相等嗎？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）教師甲在每場(chǎng)的6次投球中投進(jìn)球的個(gè)數(shù)為X，X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6由題意直接可知X～B（6，）即可求解
（Ⅱ）教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)：分為三種情況（中4球，5球，6球）但都必須最后2個(gè)球都投進(jìn)者，故所求的概率為．
（Ⅲ）教師乙在某場(chǎng)比賽中的事件總數(shù)為：A₆6，而6個(gè)球中恰好投進(jìn)了4個(gè)球的事件數(shù)為：A₄2×A₄4，故而教師乙在這場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率為：
  根據(jù)（Ⅱ）知教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率為：，而，故教師乙在這場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率與教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率不相等．
解答：解：（Ⅰ）X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6．
依條件可知X～B（6，）.（k=0，1，2，3，4，5，6）
X的分布列為：

X		1	2	3	4	5	6
P

所以=．
或因?yàn)閄～B（6，），所以．即X的數(shù)學(xué)期望為4
（Ⅱ）設(shè)教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)為事件A，
則=．
答：教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率為．
（Ⅲ）設(shè)教師乙在這場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)為事件B，
則．
即教師乙在這場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率為．
顯然，所以教師乙在這場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率與教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率不相等．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了離散型隨機(jī)變量的期望與方差，n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，離散型隨機(jī)變量及其分布列屬于基礎(chǔ)題．