Question

18．一個正三棱錐的三條側棱長均為1，且兩兩垂直，將這個正三棱錐繞著它的高線旋轉60°，則旋轉后的三棱錐與原三棱錐公共部分的體積等于$\frac{\sqrt{2}}{18}$．

Answer 1

分析 如圖所示，PO為正三棱錐的高．旋轉后的三棱錐與原三棱錐公共部分為正六棱錐P-DEFGHM．其中AO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，PO=$\sqrt{P{A}^{2}-A{O}^{2}}$，DE=$\frac{1}{3}$．即可得出．

解答 解：如圖所示，PO為正三棱錐的高．
旋轉后的三棱錐與原三棱錐公共部分為正六棱錐P-DEFGHM．
$AO=\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
PO=$\sqrt{P{A}^{2}-A{O}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
DE=$\frac{1}{3}$．
∴要求的體積V=$\frac{1}{3}×PO×{S}_{正六邊形DEFGHM}$
=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}$×$6×\frac{\sqrt{3}}{4}×（\frac{1}{3}）^{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{18}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{18}$．

點評 本題考查了棱錐的體積計算公式、勾股定理、等邊三角形的面積計算公式，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．