Question

19．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響．對近8年的年宣傳費x_i和年銷售量y_i（i=1，2，…，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，
得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．

$\overline{x}$	$\overline{y}$	$\overline{w}$	$\sum_{i=1}^{8}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$	$\sum_{i=1}^{8}（{w}_{i}-\overline{w}）^{2}$	$\sum_{i=1}^{8}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）$	$\sum_{i=1}^{8}（{w}_{i}-\overline{w}）（{y}_{i}-\overline{y）}$
46.6	563	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

其中w_i=$\sqrt{{x}_{i}}$，$\overline{w}$=$\frac{1}{8}$$\sum_{i=1}^{8}{w}_{i}$
（Ⅰ）根據(jù)散點圖判斷，y=a+bx與y=c+d$\sqrt{x}$哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程；
（Ⅲ）已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x、y的關系為z=0.2y-x．根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果回答下列問題：
（i）年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？
（ii）年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？
附：對于一組數(shù)據(jù)（u₁，v₁），（u₂，v2），…，（u_n，v_n），其回歸直線v=α+βμ的斜率和截距的最小二乘估計分別為：$\widehat{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）（{v}_{i}-\overline{v}）}{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）^{2}}$，$\widehat{α}$=$\overline{v}$-$\widehat{β}$$\overline{u}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)散點圖，即可判斷出，
（Ⅱ）先建立中間量ω=$\sqrt{x}$，建立y關于w的線性回歸方程，根據(jù)公式求出w，問題得以解決；
（Ⅲ）（i）年宣傳費x=49時，代入到回歸方程，計算即可，
（ii）求出預報值得方程，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求出．

解答 解：（Ⅰ）由散點圖可以判斷，y=c+d$\sqrt{x}$適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型．…（2分）
（Ⅱ）令ω=$\sqrt{x}$，先建立y關于ω的線性回歸方程．
由于d=$\frac{108.8}{1.6}$=68，c=563-68×6.8=100.6，
所以y關于w的線性回歸方程為y=100.6+68w，
因此y關于x的回歸方程為y=100.6+68$\sqrt{x}$．…（6分）
（Ⅲ）（ i）由（Ⅱ）知，當x=49時，年銷售量y的預報值y=100.6+68$\sqrt{49}$=576.6，
年利潤z的預報值z=576.6×0.2-49=66.32．…（8分）
（ ii）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果知，年利潤z的預報值z=0.2（100.6+68$\sqrt{x}$）-x=-x+13.6$\sqrt{x}$+20.12，
當$\sqrt{x}$=6.8時，年利潤的預報值最大．
故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預報值最大．…（10分）

點評 本題主要考查了線性回歸方程和散點圖的問題，準確的計算是本題的關鍵，屬于中檔題．