Question

11．已知函數(shù)f（x）=sin²x-sin²（x-$\frac{π}{6}$），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]內(nèi)的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=-$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$），由周期公式可得；
（Ⅱ）由x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]結(jié)合不等式的性質(zhì)和三角函數(shù)的知識易得函數(shù)的最值．

解答 解：（Ⅰ）化簡可得f（x）=sin²x-sin²（x-$\frac{π}{6}$）
=$\frac{1}{2}$（1-cos2x）-$\frac{1}{2}$[1-cos（2x-$\frac{π}{3}$）]
=$\frac{1}{2}$（1-cos2x-1+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）
=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）
=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（Ⅱ）∵x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]，∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，∴$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$]，
∴f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]內(nèi)的最大值和最小值分別為$\frac{\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{1}{2}$

點評 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及三角函數(shù)的周期性和最值，屬基礎(chǔ)題．