Question

2．設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，a=btanA，且B為鈍角．
（Ⅰ）證明：B-A=$\frac{π}{2}$；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范圍和誘導(dǎo)公式可得；
（Ⅱ）由題意可得A∈（0，$\frac{π}{4}$），可得0＜sinA＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，化簡可得sinA+sinC=-2（sinA-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{8}$，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答 解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{a}$=$\frac{sinA}{sinB}$，
∴sinB=cosA，即sinB=sin（$\frac{π}{2}$+A）
又B為鈍角，∴$\frac{π}{2}$+A∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴B=$\frac{π}{2}$+A，∴B-A=$\frac{π}{2}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π-（A+B）=π-（A+$\frac{π}{2}$+A）=$\frac{π}{2}$-2A＞0，
∴A∈（0，$\frac{π}{4}$），∴sinA+sinC=sinA+sin（$\frac{π}{2}$-2A）
=sinA+cos2A=sinA+1-2sin²A
=-2（sinA-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{8}$，
∵A∈（0，$\frac{π}{4}$），∴0＜sinA＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴由二次函數(shù)可知$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜-2（sinA-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{8}$≤$\frac{9}{8}$
∴sinA+sinC的取值范圍為（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{9}{8}$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理和三角函數(shù)公式的應(yīng)用，涉及二次函數(shù)區(qū)間的最值，屬基礎(chǔ)題．