Question

16．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y滿足f（x+y）=f（x）+f（y）+$\frac{1}{2}$，且f（$\frac{1}{2}$）=0．給出以下結(jié)論：
①f（0）=-$\frac{1}{2}$；②f（-1）=-$\frac{3}{2}$；③f（x）為R上減函數(shù)；④f（x）+$\frac{1}{2}$為奇函數(shù)；
其中正確結(jié)論的序號(hào)是①②④．

Answer 1

分析 根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系式，采用賦值法，可解決①②，在此基礎(chǔ)上繼續(xù)對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證可得答案．

解答 解：①令x=y=0，
則f（0）=f（0）+f（0）+$\frac{1}{2}$，
即f（0）=-$\frac{1}{2}$，故①正確，
②令y=x=$\frac{1}{2}$，得f（1）=f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$；
令x=1，y=-1，得f（1-1）=f（1）+f（-1）+$\frac{1}{2}$=f（0），
即$\frac{1}{2}$+f（-1）+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$；
即f（-1）=-$\frac{3}{2}$，故②正確，
③取y=-1代入可得f（x-1）=f（x）+f（-1）+$\frac{1}{2}$，即f（x-1）-f（x）=f（-1）+$\frac{1}{2}$=-1＜0，即f（x-1）＜f（x），
故③f（x）為R上減函數(shù)，錯(cuò)誤；
④令y=-x代入可-$\frac{1}{2}$=f（0）=f（x）+f（-x）+$\frac{1}{2}$，即f（x）+$\frac{1}{2}$+f（-x）+$\frac{1}{2}$=0，故f（x）+$\frac{1}{2}$為奇函數(shù)，故④正確，
故正確是①②④，
故答案為：①②④

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與函數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，利用賦值法是解決抽象函數(shù)常用的一種方法，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．