Question

13．已知拋物線C：y²=4x的焦點為F，它的準線與對稱軸的交點為H，過點H的直線與拋物線C交于A、B兩點，過點A作直線AF與拋物線C交于另一點B₁，過點A、B、B₁的圓的圓心坐標為（a，b），半徑為r，則下列各式成立的是（　�。�

• A． a²=r²-$\frac{1}{4}$
• B． a=r
• C． a²=r²+$\frac{1}{4}$
• D． a²=r²+1

Answer 1

分析 由題意，取A（4，4），直線AB：y=$\frac{4}{5}$（x+1），求出B的坐標，進一步求出B₁的坐標，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，取A（4，4），直線AB：y=$\frac{4}{5}$（x+1），
代入y²=4x，可得4x²-17x+4=0，∴可得B（$\frac{1}{4}$，1），
直線AF的方程為y-0=$\frac{4}{3}$（x-1）代入y²=4x，可得4x²-17x+4=0，∴可得B₁（$\frac{1}{4}$，-1），
AB的中點為（$\frac{17}{8}$，$\frac{5}{2}$），線段AB的垂直平分線的方程為y-$\frac{5}{2}$=-$\frac{5}{4}$（x-$\frac{17}{8}$），
令y=0，可得x=$\frac{33}{8}$，∴a=$\frac{33}{8}$，
r²=（$\frac{33}{8}$-4）²+（0-4）²=$\frac{1025}{64}$，∴r²+1=$\frac{1089}{64}$=a²，
故選：D．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查圓的方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．