Question

8．在直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα\\ y=\sqrt{3}+tsinα\end{array}$（t是參數(shù)），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ=8cos（θ-$\frac{π}{3}$）．
（1）求曲線C₂的直角坐標方程，并指出其表示何種曲線；
（2）若曲線C₁與曲線C₂交于A，B兩點，求|AB|的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標與直角坐標的互化方法，即可得出結論；
（2）聯(lián)立曲線C₁與曲線C₂的方程，利用參數(shù)的幾何意義，即可求|AB|的最大值和最小值．

解答 解：（1）對于曲線C₂有$ρ=8cos（θ-\frac{π}{3}）$，即${ρ^2}=4ρcosθ+4\sqrt{3}ρsinθ$，
因此曲線C₂的直角坐標方程為${x^2}+{y^2}=4x+4\sqrt{3}y$，其表示一個圓．（5分）
（2）聯(lián)立曲線C₁與曲線C₂的方程可得：${t^2}-2\sqrt{3}sinα•t-13=0$，
∴t₁+t₂=2$\sqrt{3}$sinα，t₁t₂=-13
$|AB|=|{t_1}-{t_2}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{{{（2\sqrt{3}sinα）}^2}-4（-13）}=\sqrt{12{{sin}^2}α+52}$，
因此sinα=0，|AB|的最小值為$2\sqrt{13}$，sinα=±1，最大值為8．（10分）

點評 本小題主要考查極坐標系與參數(shù)方程的相關知識，具體涉及到極坐標方程與平面直角坐標方程的互化、利用直線的參數(shù)方程的幾何意義求解直線與曲線交點的距離等內容．本小題考查考生的方程思想與數(shù)形結合思想，對運算求解能力有一定要求．