【題目】已知數(shù)列.如果數(shù)列滿足, ,其中,則稱為的“衍生數(shù)列”.
(Ⅰ)若數(shù)列的“衍生數(shù)列”是,求;
(Ⅱ)若為偶數(shù),且的“衍生數(shù)列”是,證明:的“衍生數(shù)列”是;
(Ⅲ)若為奇數(shù),且的“衍生數(shù)列”是,的“衍生數(shù)列”是,….依次將數(shù)列,,,…的第項(xiàng)取出,構(gòu)成數(shù)列 .證明:是等差數(shù)列.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)見解析;(Ⅲ)見解析
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)定義可以得到關(guān)于的方程組,解這個(gè)方程組可得.
(Ⅱ)我們可以先計(jì)算及,于是我們猜測(cè),用數(shù)學(xué)歸納法可以證明這個(gè)結(jié)論.最后再去證明的“衍生數(shù)列”就是.我們也可以對(duì) ,進(jìn)行代數(shù)變形得到,再根據(jù)得到數(shù)列是的“衍生數(shù)列”.
(Ⅲ)設(shè)數(shù)列中后者是前者的“衍生數(shù)列”,要證是等差數(shù)列,可證成等差數(shù)列,由(Ⅱ)中的證明可知,,代數(shù)變形后根據(jù)為奇數(shù)可以得到.也可以利用(Ⅱ)中的代數(shù)變形方法得到,從而得到, 即 成等差數(shù)列,再根據(jù)得到成等差數(shù)列.
(Ⅰ)解:因?yàn)?/span>,所以,
又,所以,
,故,同理有
,因此,,所以.
(Ⅱ)證法一:
證明:由已知, ,.
因此,猜想.
① 當(dāng)時(shí),,猜想成立;
② 假設(shè)時(shí),.
當(dāng)時(shí),
故當(dāng)時(shí)猜想也成立.
由 ①、② 可知,對(duì)于任意正整數(shù),有.
設(shè)數(shù)列 的“衍生數(shù)列”為 ,則由以上結(jié)論可知
,其中 .
由于為偶數(shù),所以,
所以,其中.
因此,數(shù)列即是數(shù)列.
證法二:
因?yàn)?/span> ,
,
,
……
,
由于為偶數(shù),將上述個(gè)等式中的第這個(gè)式子都乘以,相加得
即,
由于,,
根據(jù)“衍生數(shù)列”的定義知,數(shù)列是的“衍生數(shù)列”.
(Ⅲ)證法一:
證明:設(shè)數(shù)列中后者是前者的“衍生數(shù)列”.欲證成等差數(shù)列,只需證明成等差數(shù)列,即只要證明 即可.
由(Ⅱ)中結(jié)論可知,
,
所以,,即成等差數(shù)列,
所以是等差數(shù)列.
證法二:
因?yàn)?/span>,
所以.
所以欲證成等差數(shù)列,只需證明成等差數(shù)列即可.
對(duì)于數(shù)列及其“衍生數(shù)列”,
因?yàn)?/span> ,
,
,
……
,
由于為奇數(shù)數(shù),將上述個(gè)等式中的第這個(gè)式子都乘以,相加得
即,
設(shè)數(shù)列的“衍生數(shù)列”為,
因?yàn)?/span>,
所以, 即 成等差數(shù)列.
同理可證,也成等差數(shù)列.
即是等差數(shù)列.所以成等差數(shù)列.
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(Ⅰ)若數(shù)列的“衍生數(shù)列”是,求;
(Ⅱ)若為偶數(shù),且的“衍生數(shù)列”是,證明:的“衍生數(shù)列”是;
(Ⅲ)若為奇數(shù),且的“衍生數(shù)列”是,的“衍生數(shù)列”是,….依次將數(shù)列,,,…的第項(xiàng)取出,構(gòu)成數(shù)列 .證明:是等差數(shù)列.
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【題目】設(shè)為正整數(shù),若兩個(gè)項(xiàng)數(shù)都不小于的數(shù)列,滿足:存在正數(shù),當(dāng)且時(shí),都有,則稱數(shù)列,是“接近的”.已知無(wú)窮等比數(shù)列滿足,無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)和為,,且,.
(1)求數(shù)列通項(xiàng)公式;
(2)求證:對(duì)任意正整數(shù),數(shù)列,是“接近的”;
(3)給定正整數(shù),數(shù)列,(其中)是“接近的”,求的最小值,并求出此時(shí)的(均用表示).(參考數(shù)據(jù):)
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【題目】已知數(shù)列滿足:,,且.
(1)求數(shù)列前20項(xiàng)的和;
(2)求通項(xiàng)公式;
(3)設(shè)的前項(xiàng)和為,問(wèn):是否存在正整數(shù)、,使得?若存在,請(qǐng)求出所有符合條件的正整數(shù)對(duì),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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【題目】已知無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,其中、、是常數(shù).
(1)若,,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
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(3)試探究、、滿足什么條件時(shí),數(shù)列是公比不為的等比數(shù)列.
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