【題目】已知無窮數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，其中、、是常數(shù).

（1）若，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，，，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）試探究、、滿足什么條件時(shí)，數(shù)列是公比不為的等比數(shù)列.

【答案】（1）；（2）；（3），或或，．

【解析】

試題分析：（1）已知與的關(guān)系，要求，一般是利用它們之間的關(guān)系 ，把，化為，得出數(shù)列的遞推關(guān)系，從而求得通項(xiàng)公式；（2）與（1）類似，先求出，時(shí)，推導(dǎo)出與之間的關(guān)系，求出通項(xiàng)公式，再求出前項(xiàng)和；（3）這是一類探究性命題，可假設(shè)結(jié)論成立，然后由這個(gè)假設(shè)的結(jié)論來推導(dǎo)出條件，本題設(shè)數(shù)列是公比不為的等比數(shù)列，則，，代入恒成立的等式，得

對(duì)于一切正整數(shù)都成立，所以，，，得出這個(gè)結(jié)論之后，還要反過來，由這個(gè)條件證明數(shù)列是公比不為的等比數(shù)列，才能說明這個(gè)結(jié)論是正確的．在討論過程中，還要討論的情況，因?yàn)?/span>時(shí)，，，當(dāng)然這種情況下，不是等比數(shù)列，另外 ．

試題解析：（1）由，得； 1分

當(dāng)時(shí)，，即2分

所以； 1分

（2）由，得，進(jìn)而， 1分

當(dāng)時(shí)，

得，

因?yàn)?/span>，所以， 2分

進(jìn)而2分

（3）若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，

①當(dāng)時(shí)，，

由，得恒成立.

所以，與數(shù)列是等比數(shù)列矛盾； 1分

②當(dāng)，時(shí)，，， 1分

由恒成立，

得對(duì)于一切正整數(shù)都成立

所以，或或，3分

事實(shí)上，當(dāng)，或或，時(shí)，

，時(shí)，，得或

所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列 2分

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】某學(xué)校為了豐富學(xué)生的課余生活，以班級(jí)為單位組織學(xué)生開展古詩詞背誦比賽，隨機(jī)抽取一首，背誦正確加10分，背誦錯(cuò)誤減10分，且背誦結(jié)果只有“正確”和“錯(cuò)誤”兩種．其中某班級(jí)學(xué)生背誦正確的概率，記該班級(jí)完成首背誦后的總得分為.

(1)求且的概率；

(2)記，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，以相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）請(qǐng)分別寫出直線與曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知直線與曲線交于，兩點(diǎn)，設(shè)，且，求實(shí)數(shù)的值.

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【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(Ⅱ)設(shè)，若對(duì)任意的，恒成立，求的取值范圍.

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【題目】已知定義域?yàn)?/span>的函數(shù)是奇函數(shù)．

（1）求的值；

（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；

（3）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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【題目】為了研究家用轎車在高速公路上的速情況，交通部門對(duì)名家用轎車駕駛員進(jìn)行調(diào)查，得到其在高速公路上行駛時(shí)的平均車速情況為：在名男性駕駛員中，平均車速超過的有人，不超過的有人．在名女性駕駛員中，平均車速超過的有人，不超過的有人.

（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為平均車速超過與性別有關(guān)，（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后三位）

平均車速超過人數(shù)

平均車速不超過人數(shù)

合計(jì)

男性駕駛員人數(shù)

女性駕駛員人數(shù)

合計(jì)

（2）以上述數(shù)據(jù)樣本來估計(jì)總體，現(xiàn)從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨機(jī)抽取輛，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，問這輛車中平均有多少輛車中駕駛員為男性且車速超過？

附：（其中為樣本容量）

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【題目】一個(gè)幾何體挖去部分后的三視圖如圖所示，若其正視圖和側(cè)視圖都是由三個(gè)邊長為2的正三角形組成，則該幾何體的表面積為（ ）

A. B. C. D.

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【題目】某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，有兩種方式，甲為投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品，乙為投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品，設(shè)投資甲、乙兩種產(chǎn)品的年收益分別為、萬元，根據(jù)長期收益率市場預(yù)測，它們與投入資金萬元的關(guān)系分別為，，（其中，，都為常數(shù)），函數(shù)，對(duì)應(yīng)的曲線,如圖所示．

（1）求函數(shù)、的解析式；

（2）若該家庭現(xiàn)有萬元資金，全部用于理財(cái)投資，問：如何分配資金能使一年的投資獲得最大收益，其最大收益是多少萬元？

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