Question

9．若函數(shù)f（x）=e^x-1+2x-log${\;}_{\sqrt{2}}$a^x（a＞0）在區(qū)間（0，2）內(nèi)有兩個零點(diǎn)，則a的取值范圍為（　�。�

• A． （$\sqrt{2}$，${2}^{\frac{e}{2}}$）
• B． （0，2]
• C． （2，2${\;}^{\frac{e+2}{2}}$]
• D． （2${\;}^{\frac{3}{2}}$，2${\;}^{\frac{e+4}{4}}$）

Answer 1

分析 分離常數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，問題得以解決．

解答 解：∵f（x）=e^x-1+2x-log${\;}_{\sqrt{2}}$a^x=0，
∴l(xiāng)og₂a=$\frac{{e}^{x-1}}{2x}$+1在（0，2）內(nèi)有兩解，
令y=$\frac{{e}^{x-1}}{2x}$+1，
則y′=$\frac{{e}^{x-1}（x-1）}{2{x}^{2}}$，
∴y在（0，1）為減函數(shù)，在（1，2）上為增函數(shù)，
∴當(dāng)x=1時，取得最小值，y=$\frac{3}{2}$，
當(dāng)x→0時，y→+∞，
當(dāng)x=2時，y=$\frac{e+4}{4}$，
∴$\frac{3}{2}$＜log₂a＜$\frac{e+4}{4}$，
∴${2}^{\frac{3}{2}}$＜a＜${2}^{\frac{e+4}{4}}$，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性時，函數(shù)零點(diǎn)存在定義，利用導(dǎo)數(shù)求出最值是關(guān)鍵，屬于中檔題．