Question

14．在△ABC中，過B、C分別作∠BAC的平分線的垂線，E、F為垂足，AD⊥BC于D、M為BC中點(diǎn)，求證：M、E、D、F四點(diǎn)共圓．

Answer 1

分析 連結(jié)ME、MF、DE，只須證∠MFE=∠MDE即可．由AF平分∠BAC，CF⊥AF，利用等腰三角形的判定方法和性質(zhì)得到F為CG的中點(diǎn)．又M為BC的中點(diǎn)，故FM∥GB，于是∠MFE=∠BAE，然后利用圓周角定理證明∠BDE=∠BAE即可．

解答 證明：延長CF交AB于G，如圖，
∵AF平分∠GAC，CF⊥AF，
∴AG=AC，
∴GF=CF，
∵M(jìn)點(diǎn)BC的中點(diǎn)，
∴MF∥AB，
∴∠BAE=∠MFE，
∵BE⊥AE，AD⊥BC，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
∴點(diǎn)D和點(diǎn)E在以AB為直徑的圓上，
∴∠BAE=∠BDE，
∴∠MFE=∠MDE，
∴M、E、D、F四點(diǎn)共圓．

點(diǎn)評 本題考查了四點(diǎn)共圓：將四點(diǎn)連成一個四邊形，若對角互補(bǔ)，那么這四點(diǎn)共圓；連接對角線，若這個四邊形的一邊同側(cè)的兩個頂角相等，那么這四點(diǎn)共圓． 延長CF構(gòu)造三角形的中位線是解決問題的突破口．