Question

8．已知無窮等數(shù)列{a_n}中，首項(xiàng)a₁=1000，公比q=$\frac{1}{10}$，數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{n}$（lga₁+lga₂+…+lga_n）．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n，再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．
（2）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）a_n=1000×$（\frac{1}{10}）^{n-1}$=10^4-n，
=${a_n}={10^{4-n}}$，
∴l(xiāng)ga_n=4-n，
∴${b_n}=\frac{1}{n}（lg{a_1}+lg{a_2}+…+lg{a_n}）=\frac{3+4-n}{2}=\frac{7-n}{2}$．
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)之和為T_n，則${T_n}=\frac{{-{n^2}+13n}}{4}$=-$\frac{1}{4}$$（n-\frac{13}{2}）^{2}$+$\frac{169}{16}$，
當(dāng)n=6，7時，T_n取得最大值$\frac{21}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．