Question

17．已知A，B兩地相距100km．按交通法規(guī)規(guī)定：A，B兩地之間的公路上車速要求不低于60km/h且不高于100km/h．假設(shè)汽車以xkm/h速度行駛時，每小時耗油量為（$4+\frac{1}{128000}{x^3}-\frac{1}{80}x$）升，汽油的價格是6元/升，司機每小時的工資是24元．
（1）若汽車從A地以64km/h的速度勻速行駛到B地，需耗油多少升？
（2）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從A地到B地的總費用最低？

Answer 1

分析 （1）當x=64時，代入耗油量表達式求解即可．
（2）設(shè)總費用為y元，求出y的表達式，通過函數(shù)的導數(shù)求出函數(shù)的極值，然后求出最值．

解答 解：（1）當x=64時，總耗油量為：$（4+\frac{{{{64}^3}}}{128000}-\frac{64}{80}）•\frac{100}{64}=\frac{41}{5}=8.2$…（5分）
答：當汽車從A地以64km/h的速度勻速行駛到B地，共耗油8.2升． …（6分）
（2）設(shè)總費用為y元，則$y=[24+（4+\frac{1}{128000}{x^3}-\frac{1}{80}x）\;×6]×\frac{100}{x}$=$\frac{4800}{x}+\frac{{3{x^2}}}{640}-\frac{15}{2}$，60≤x≤100…（10分）
則$y'=-\frac{4800}{x^2}+\frac{3x}{320}=\frac{{3（{x^3}-{{80}^3}）}}{{320{x^2}}}$，由y′=0得x=80，…（12分）
當x∈（60，80）時，y′＜0，當x∈（80，100）時，y′＞0，
所以當x=80時，y取得極小值，且是最小值．                                              …（14分）
答：當汽車以80km/h的速度勻速行駛時，從A地到B地的總費用最低． …（15分）

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的解析式求解函數(shù)的最值，考查計算能力．