Question

17．已知A，B兩地相距100km．按交通法規(guī)規(guī)定：A，B兩地之間的公路上車(chē)速要求不低于60km/h且不高于100km/h．假設(shè)汽車(chē)以xkm/h速度行駛時(shí)，每小時(shí)耗油量為（$4+\frac{1}{128000}{x^3}-\frac{1}{80}x$）升，汽油的價(jià)格是6元/升，司機(jī)每小時(shí)的工資是24元．
（1）若汽車(chē)從A地以64km/h的速度勻速行駛到B地，需耗油多少升？
（2）當(dāng)汽車(chē)以多大的速度勻速行駛時(shí)，從A地到B地的總費(fèi)用最低？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)x=64時(shí)，代入耗油量表達(dá)式求解即可．
（2）設(shè)總費(fèi)用為y元，求出y的表達(dá)式，通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，然后求出最值．

解答 解：（1）當(dāng)x=64時(shí)，總耗油量為：$（4+\frac{{{{64}^3}}}{128000}-\frac{64}{80}）•\frac{100}{64}=\frac{41}{5}=8.2$…（5分）
答：當(dāng)汽車(chē)從A地以64km/h的速度勻速行駛到B地，共耗油8.2升． …（6分）
（2）設(shè)總費(fèi)用為y元，則$y=[24+（4+\frac{1}{128000}{x^3}-\frac{1}{80}x）\;×6]×\frac{100}{x}$=$\frac{4800}{x}+\frac{{3{x^2}}}{640}-\frac{15}{2}$，60≤x≤100…（10分）
則$y'=-\frac{4800}{x^2}+\frac{3x}{320}=\frac{{3（{x^3}-{{80}^3}）}}{{320{x^2}}}$，由y′=0得x=80，…（12分）
當(dāng)x∈（60，80）時(shí)，y′＜0，當(dāng)x∈（80，100）時(shí)，y′＞0，
所以當(dāng)x=80時(shí)，y取得極小值，且是最小值．                                              …（14分）
答：當(dāng)汽車(chē)以80km/h的速度勻速行駛時(shí)，從A地到B地的總費(fèi)用最低． …（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的解析式求解函數(shù)的最值，考查計(jì)算能力．