【題目】已知四棱錐中，底面，，，，.

（1）當變化時，點到平面的距離是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；

（2）當直線與平面所成的角為45°時，求二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】

(1)根據(jù)幾何關(guān)系得到面，進而得到點面距離；（2）根據(jù)線面角得到，所以，建立坐標系求得面的法向量由向量夾角的計算公式，進而得到二面角的余弦值.

（1）由，，知，則，

由面，面得，由，，面，

則面，則點到平面的距離為一個定值，.

（2）由面，為在平面上的射影，則為直線與平面

所成的角，則，所以.

由，得，故直線、、兩兩垂直，因此，以點

為坐標原點，以、、所在的直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間

直角坐標系，易得，，，于是，，

設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則

，，于是；顯然為平面的一個法向量，

于是，

分析知二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左右焦點分別為，離心率為，是橢圓上的一個動點，且面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線斜率為，且與橢圓的另一個交點為，是否存在點，使得若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，是橢圓上兩點，是坐標原點，且，，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過作兩條相互垂直的直線分別交橢圓于和，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓的左頂點，且點在橢圓上， 分別是橢圓的左、右焦點。過點作斜率為的直線交橢圓于另一點，直線交橢圓于點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若為等腰三角形，求點的坐標；

（3）若，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸，以相同的長度單位建立極坐標系．己知直線的直角坐標方程為，曲線C的極坐標方程為．

（1）設(shè)t為參數(shù)，若，求直線的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程；

（2）已知：直線與曲線C交于A，B兩點，設(shè)，且，，依次成等比數(shù)列，求實數(shù)a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】時值金秋十月，正是秋高氣爽，陽光明媚的美好時刻。復(fù)興中學一年一度的校運會正在密鑼緊鼓地籌備中，同學們也在熱切地期盼著，都想為校運會出一份力。小智同學則通過對學校有關(guān)部門的走訪，隨機地統(tǒng)計了過去許多年中的五個年份的校運會“參與”人數(shù)及相關(guān)數(shù)據(jù)，并進行分析，希望能為運動會組織者科學地安排提供參考。

附：①過去許多年來學校的學生數(shù)基本上穩(wěn)定在3500人左右；②“參與”人數(shù)是指運動員和志愿者，其余同學均為“啦啦隊員”，不計入其中；③用數(shù)字1、2、3、4、5表示小智同學統(tǒng)計的五個年份的年份數(shù)，今年的年份數(shù)是6；

統(tǒng)計表（一）

年份數(shù)x

1

2

3

4

5

“參與”人數(shù)（y千人）

1.9

2.3

2.0

2.5

2.8

統(tǒng)計表（二）

高一（3）（4）班參加羽毛球比賽的情況：

男生

女生

小計

參加（人數(shù)）

26

b

50

不參加（人數(shù)）

c

20

小計

44

100

（1）請你與小智同學一起根據(jù)統(tǒng)計表（一）所給的數(shù)據(jù)，求出“參與”人數(shù)y關(guān)于年份數(shù)x的線性回歸方程，并預(yù)估今年的校運會的“參與”人數(shù)；

（2）學校命名“參與”人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分之八十及以上的年份為“體育活躍年”．如果該校每屆校運會的“參與”人數(shù)是互不影響的，且假定小智同學對今年校運會的“參與”人數(shù)的預(yù)估是正確的，并以這6個年份中的“體育活躍年”所占的比例作為任意一年是“體育活躍年”的概率�，F(xiàn)從過去許多年中隨機抽取9年來研究，記這9年中“體活躍年”的個數(shù)為隨機變量，試求隨機變量的分布列、期望和方差；

（3）根據(jù)統(tǒng)計表（二），請問：你能否有超過60%的把握認為“羽毛球運動”與“性別”有關(guān)？

參考公式和數(shù)據(jù)一：，，，

參考公式二：，其中．

參考數(shù)據(jù)：

0.50

0.40

0.25

0.05

0.025

0.010

0.455

0.708

1.323

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)，命題p：函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；q：函數(shù)僅在處有極值.

（1）若命題q是真命題，求a的取值范圍；

（2）若命題是真命題，求a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為，且

（1）求的值；

（2）若，求三角形ABC的面積的值．

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