Question

已知函數f（x）的導函數f′（x），滿足xf′（x）+2f（x）=

1

x2

，且f（1）=1，則函數f（x）的最大值為（　�。�

• A、0
• B、

  e

• C、

  e

  2

• D、2e

Answer 1

考點：導數的運算,函數的最值及其幾何意義

專題：導數的概念及應用

分析：由題意構造函數g（x）=x²f（x），可解得g（x）=1+lnx，f（x）=

1+lnx

x2

，利用導數判斷函數f（x）的單調性，求得最大值即可．

解答： 解：∵xf′（x）+2f（x）=

1

x2

，
∴x²f′（x）+2xf（x）=

1

x

，
令g（x）=x²f（x），則g′（x）=x²f′（x）+2xf（x）=

1

x

，
∵f（1）=1，∴g（1）=1，
∴g（x）=1+lnx，f（x）=

1+lnx

x2

，∴f′（x）=

-1-2lnx

x3

，
∴x＜e-

1

2

時，f′（x）=

-1-2lnx

x3

＞0，x＞e-

1

2

時，f′（x）=

-1-2lnx

x3

＜0，
∴當x=e-

1

2

時，f（x）_max=f（e-

1

2

）=

1+lne- 1 2

(e- 1 2 )2

=

e

2

．
故選C．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的性質，解題的關鍵是構造函數g（x）=x²f（x），邏輯性較強，屬于中檔題．