橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
1
2
,其右焦點(diǎn)到點(diǎn)P(-3,1)的距離為
17

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是左右頂點(diǎn)),且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的左頂點(diǎn).求證:直線l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析:(1)由題:e=
c
a
=
1
2
,
(c+3)2+12
=
17
,由此能求出橢圓C的方程.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由
y=kx+m
x2
4
+
y2
3
=1
,得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0,由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、向量知識(shí),結(jié)合已知條件能求出直線l過(guò)定點(diǎn)(-
2
7
,0).
解答: (1)解:由題:e=
c
a
=
1
2
,①
右焦點(diǎn)(c,0)到點(diǎn)P(-3,1)的距離為:
(c+3)2+12
=
17
.②,
由①②可解得:a2=4,b2=3,c2=1.…(2分)
∴所求橢圓C的方程為:
x2
4
+
y2
3
=1
.…(4分)
(2)證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
y=kx+m
x2
4
+
y2
3
=1
,得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0,
△=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0,3+4k2-m2>0.
x1+x2=-
8mk
3+4k2
,x1x2=
4(m2-3)
3+4k2
,…(6分)
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=
3(m2-4k2)
3+4k2

∵以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)D(-2,0),因此
DA
DB
=0,
即(x1+2)(x2+2)+y1y2=0,展開(kāi)得x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2=0,
4(m2-3)
3+4k2
-
16mk
3+4k2
+4+
3(m2-4k2)
3+4k2
=0,
7m2-16mk+4k2=0,…(9分)
解得 m=2k或m=
2k
7
,且滿足3+4k2-m2>0,…(10分)
當(dāng)m=2k時(shí),l:y=k(x+2),直線過(guò)定點(diǎn)(-2,0),與已知矛盾;…(11分)
當(dāng)m=
2k
7
時(shí),l:y=k(x+
2
7
),直線過(guò)定點(diǎn)(-
2
7
,0).
綜上可知,直線l過(guò)定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為(-
2
7
,0).…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓方程的求法,考查直線過(guò)定點(diǎn)的證明與求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(lg5)2+lg2×lg50=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)設(shè)集合A={x|x2-2x-3<0},B={x|x-a>0},若A∩B=A,求a的范圍;
(2)設(shè)集合M={x∈R|ax2-3x-1=0},若集合M中至多有一個(gè)元素,求a的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

命題“對(duì)任意的x∈R,x2+1>0”的否定是(  )
A、不存在x∈R,x2+1>0
B、存在x∈R,x2+1>0
C、存在x∈R,x2+1≤0
D、對(duì)任意的x∈R,x2+1≤0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5]
(1)若y=f(x)在區(qū)間[-5,5]上是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)求函數(shù)f(x)的最小值g(a).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=
1
3
an+
2
3
,則{an}的通項(xiàng)公式an=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知a>0,給出下列兩個(gè)命題:
p:函數(shù)f(x)=ln(x+1)-ln
a
2-x
小于零恒成立;
q:關(guān)于x的方程x2+(1-a)x+1=0,一個(gè)根在(0,1)上,另一個(gè)根在(1,2)上,若p∨q為真命題,p∧q為假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x),滿足xf′(x)+2f(x)=
1
x2
,且f(1)=1,則函數(shù)f(x)的最大值為( 。
A、0
B、
e
C、
e
2
D、2e

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

變量x,y滿足約束條件
x-3y+2≤0
x+y-6≤0
x-y≥0
時(shí),x-2y+m≤0恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(  )
A、[0,+∞)
B、[1,+∞)
C、(-∞,3]
D、(-∞,0]

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