Question

16．已知函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，當x＞0時，f（x）=$\frac{2x+3}{x+1}$．
（1）當x＜0時，求f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調性，并證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)偶函數(shù)的對稱性進行轉化即可；
（2）利用導數(shù)的方法，即可得出結論．

解答 解：（1）若x＜0，則-x＞0，
∵當x＞0時，f（x）=$\frac{2x+3}{x+1}$，
∴f（-x）=$\frac{-2x+3}{-x+1}$，
∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
∴f（x）=$\frac{-2x+3}{-x+1}$；
（2）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調遞減．
∵當x＞0時，f（x）=$\frac{2x+3}{x+1}$，f′（x）=$\frac{2（x+1）-2x-3}{（x+1）^{2}}$=-$\frac{1}{（x+1）^{2}}$＜0，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調遞減．

點評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解，考查函數(shù)的單調性，根據(jù)函數(shù)奇偶性的對稱性是解決本題的關鍵．