Question

10．定義在（0，+∞）上的函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)為y=f^-1（x），若g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}-1，x≤0}\\{f（x），x＞0}\end{array}\right.$為奇函數(shù)，則f^-1（x）=2的解為$\frac{8}{9}$．

Answer 1

分析 由奇函數(shù)的定義，當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，代入已知解析式，即可得到所求x＞0的解析式，再由互為反函數(shù)的兩函數(shù)的自變量和函數(shù)值相反，即可得到所求值．

解答 解：若g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}-1，x≤0}\\{f（x），x＞0}\end{array}\right.$為奇函數(shù)，
可得當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，即有g(shù)（-x）=3^-x-1，
由g（x）為奇函數(shù)，可得g（-x）=-g（x），
則g（x）=f（x）=1-3^-x，x＞0，
由定義在（0，+∞）上的函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)為y=f^-1（x），
且f^-1（x）=2，
可由f（2）=1-3^-2=$\frac{8}{9}$，
可得f^-1（x）=2的解為x=$\frac{8}{9}$．
故答案為：$\frac{8}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性和運(yùn)用，考查互為反函數(shù)的自變量和函數(shù)值的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．