Question

【題目】某種商品原來每件售價為25元，年銷售量8萬件．

（1）據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？

（2）為了擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量．公司決定明年對該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價到元．公司擬投入萬元作為技改費(fèi)用，投入50萬元作為固定宣傳費(fèi)用，投入萬元作為浮動宣傳費(fèi)用．試問：當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價．

Answer 1

【答案】（1）每件定價最多為元；（2）當(dāng)該商品明年的銷售量至少達(dá)到萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總收入之和，此時該商品的每件定價為元．

【解析】

（1）設(shè)出每件的定價，根據(jù)“銷售的總收入不低于原收入”列不等式，解不等式求得定價的取值范圍，由此求得定價的最大值.（2）利用題目所求“改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和”列出不等式，將不等式分離常數(shù)，然后利用基本不等式求得的取值范圍以及此時商品的每件定價.

解：（1）設(shè)每件定價為元，

依題意得，

整理得，

解得

所以要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元.

（2）依題意知當(dāng)時，不等式有解

等價于時，有解，

由于，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，

所以

當(dāng)該商品改革后銷售量至少達(dá)到10.2萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30元.