Question

已知關(guān)于x的函數(shù)f（x）=sin（ωx+

π

3

）sinωx，-1＜ω＜1，若直線x=

π

3

是函數(shù)f（x）圖象的一條對(duì)稱軸，則ω=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，可求得f（x）=

1

2

sin（2ωx-

π

6

）+

1

4

，利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性可知2ω×

π

3

-

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z），又-1＜ω＜1，于是可求得ω的值．

解答： 解：∵f（x）=（sinωxcos

π

3

+cosωxsin

π

3

）sinωx
=

1

2

sin²ωx+

3

2

sinωx•cosωx
=

1-cos2ωx

4

+

3

4

sin2ωx
=

3

4

sin2ωx-

1

4

cos2ωx+

1

4

=

1

2

（

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx）+

1

4

=

1

2

sin（2ωx-

π

6

）+

1

4

，
∵直線x=

π

3

是函數(shù)f（x）圖象的一條對(duì)稱軸，
∴x=

π

3

時(shí)，f（

π

3

）為最值，
∴2ω×

π

3

-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z
整理得：ω=

3

2

k+1，k∈Z．
∵-1＜ω＜1
∴取k=-1時(shí)，ω=-

1

2

符合題意，
故答案為：-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，求得f（x）=

1

2

sin（2ωx-

π

6

）+

1

4

是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查正弦函數(shù)的對(duì)稱性，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．