Question

15．已知數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，且a₂=1，a₅=27，{b_n}為等差數(shù)列，且b₁=a₃，b₄=a₄．
（I）分別求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式．
（II）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，求數(shù)列{$\frac{2}{{S}_{n}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知求出等比數(shù)列的公比，可得等比數(shù)列的通項公式，再由b₁=a₃，b₄=a₄求出等差數(shù)列的公差，則等差數(shù)列的通項公式可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，代入數(shù)列{$\frac{2}{{S}_{n}}$}，利用裂項相消法求數(shù)列{$\frac{2}{{S}_{n}}$}的前n項和T_n．

解答 解：（Ⅰ）在等比數(shù)列{a_n}中，由a₂=1，a₅=27，得
${a}_{5}={a}_{2}{q}^{3}$，即q³=27，得q=3．
∴${a}_{1}=\frac{{a}_{2}}{q}=\frac{1}{3}$，則${a}_{n}=\frac{1}{3}•{3}^{n-1}={3}^{n-2}$，
在等差數(shù)列{b_n}中，由b₁=a₃=3，b₄=a₄=9，得
d=$\frac{_{4}-_{1}}{4-1}=\frac{9-3}{3}=2$，
∴b_n=b₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，${S}_{n}=3n+\frac{n（n-1）}{2}×2={n}^{2}+2n$．
∴$\frac{2}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+2）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$，
∴${T}_{n}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$
=$1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}=\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式的求法，訓練了裂項相消法求數(shù)列的前n項和，是中檔題．