Question

15．已知$\widehat{CD}$是以O(shè)為圓心，以1為半徑的四分之一圓，四邊形OABC為正方形，P為$\widehat{CD}$上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E．
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P為$\widehat{CD}$中點(diǎn)時(shí)，求△APE的面積；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在$\widehat{CD}$上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)∠PAB=θ，將y=AE+PE寫成y=f（θ）并求f（θ）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接OP，由P為$\widehat{CD}$的中點(diǎn)，得出∠POC=45°，利用三角函數(shù)求出AE與PE的值，即可得出△APE的面積；
（Ⅱ）由∠PAB=θ，得出∠POD=∠APO=∠APE=$\frac{π}{2}$-θ，求出，利用三角函數(shù)求出AE與PE的值，即可得出y的解析式，
再根據(jù)θ的取值范圍求出f（θ）的值域．

解答 解：（Ⅰ）連接OP，如圖所示：
∵P為$\widehat{CD}$的中點(diǎn)，
∴PF=OP•sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
OF=OP•cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴△APE的面積S=$\frac{1}{2}$AE•PE=$\frac{1}{2}$•OF•（PF+FE）=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1）=$\frac{1+\sqrt{2}}{4}$；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在$\widehat{CD}$上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)∠PAB=θ，則θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]；
∴∠POD=$\frac{π}{2}$-θ，
∴∠APO=∠APE=$\frac{π}{2}$-θ，
∴∠POC=$\frac{π}{2}$-2（$\frac{π}{2}$-θ）=2θ-$\frac{π}{2}$，
∴PF=OP•sin（2θ-$\frac{π}{2}$）=-cos2θ，
∴PE=PF+FE=-cos2θ+1，
AE=OP•cos（2θ-$\frac{π}{2}$）=sin2θ，
∴y=AE+PE=sin2θ+（-cos2θ+1）=$\sqrt{2}$sin（2θ-$\frac{π}{4}$）+1，
即y=f（θ）=$\sqrt{2}$sin（2θ-$\frac{π}{4}$）+1，θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]；
∴2θ-$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴sin（2θ-$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴$\sqrt{2}$sin（2θ-$\frac{π}{4}$）+1∈[2，$\sqrt{2}$+1]，
即f（θ）的值域是[2，$\sqrt{2}$+1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與計(jì)算問(wèn)題，也考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．