Question

7．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（π-x）sin（$\frac{π}{2}$+x）+2cos²x-1．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值和最小值，并求取得最大值和最小值時對應的x的值．
（2）設方程f（x）=m在區(qū)間（0，π）內(nèi)有兩個相異的實數(shù)根x₁，x₂，求x₁+x₂的值．
（3）如果對于區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的任意一個x，都有f（x）-a≤1成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的恒等變換，將f（x）化簡成f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），再求f（x）的最大值和最小值，
（2）根據(jù)函數(shù)圖象，找到m的取值范圍，觀察x₁和x₂的關系，寫出x₁+x₂的值，
（3）根據(jù)定義域求得f（x）的取值范圍，再求a的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=2$\sqrt{3}$sin（π-x）sin（$\frac{π}{2}$+x）+2cos²x-1，
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x，
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
f（x）的最大值為2，x取得最大值對應的x的值x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
f（x）的最小值為-2，x取得最小值對應x的值x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，
（2）f（x）=m，sin（2x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{m}{2}$，

f（x）=m在（0，π）內(nèi)有相異的兩個實數(shù)根x₁，x₂，?f（x）與$\frac{m}{2}$有兩個不同的交點，
$\frac{1}{2}＜\frac{m}{2}＜1$或$-1＜\frac{m}{2}＜\frac{1}{2}$，
由圖象可知：當x∈（0，$\frac{π}{3}$）函數(shù)y=f（x）的圖象關于直線x=$\frac{π}{6}$對稱，
x₁+x₂=2×$\frac{π}{3}$；
當x∈（$\frac{π}{3}$，π），函數(shù)y=f（x）的圖象關于直線x=$\frac{2π}{3}$對稱，
x₁+x₂=2×$\frac{2π}{3}$=$\frac{4π}{3}$，
（3）f（x）-a≤1，即a≥f（x）-1，
x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴f（x）∈[$-\frac{1}{2}$，1]，
∴a≥0．

點評 本題考查根據(jù)三角恒等變換，化簡求函數(shù)的最值，根據(jù)定義域求函數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．