Question

6．已知雙曲線的中心在平面直角坐標系的原點，實軸長為4，一個焦點是F（0，3），則雙曲線的方程是（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1
• B． $\frac{{y}^{2}}{5}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1
• C． $\frac{{y}^{2}}{16}$-$\frac{{x}^{2}}{7}$=1
• D． $\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{5}$=1

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0），由雙曲線的實軸長為4，一個焦點是F（0，3），建立關于a、b、c的方程，解出a²、b²之值，即可得到該雙曲線的方程．

解答 解：∵雙曲線中心在原點，焦點在y軸上，
∴設雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0），
∵雙曲線的實軸長為4，一個焦點是F（0，3），
∴2a=4，c=3，可得a=2，c=3，
由此可得b²=c²-a²=5，
∴雙曲線的方程是$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{5}=1$，
故選：D．

點評 本題給出雙曲線的一個焦點和實軸長，求雙曲線的標準方程，著重考查了雙曲線的標準方程和簡單幾何性質(zhì)等知識點，屬于基礎題．