Question

16．已知直線l：y=m（m＞0）與函數f（x）=|lnx|的圖象交于A，B兩點．
（1）求證：函數f（x）在A，B兩點處的切線互相垂直．
（2）分析方程f（x）=$\frac{1}{x}$解的個數，并證明．

Answer 1

分析 （1）求導數，證明函數f（x）在A，B兩點處的導數的積等于-1即可；
（2）分類討論，構造函數，即可得出結論．

解答 （1）證明：由題意，不妨設A，B的橫坐標分別為x₁，x₂，且0＜x₁＜1，x₁＞1，則
∵-lnx₁=lnx₂，
∴x₁x₂=1
∵f′（x₁）=-$\frac{1}{{x}_{1}}$，f′（x₂）=$\frac{1}{{x}_{2}}$，
∴f′（x₁）f′（x₂）=-1，
∴函數f（x）在A，B兩點處的切線互相垂直．
（2）解：f′（x）=$\frac{1}{x}$，
0＜x＜1時，-lnx=$\frac{1}{x}$，∴-xlnx=1，
令h（x）=1+xlnx，則h′（x）=lnx+1=0，∴x=$\frac{1}{e}$，
∴函數在（0，$\frac{1}{e}$）上單調遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上單調遞增，
∴h（x）_min=h（$\frac{1}{e}$）=1-$\frac{1}{e}$＞0，
∴方程無解；
x≥1時，lnx=$\frac{1}{x}$，∴xlnx=1，
令g（x）=-1+xlnx，則g′（x）=lnx+1=0，∴x=$\frac{1}{e}$，
∴函數在（1，+∞）上單調遞增，
∴g（x）_min=g（1）=-1＜0，∴方程有1根．

點評 本題考查導數知識的綜合運用，考查導數的幾何意義，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．