Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（π-ωx）sin（$\frac{π}{2}$+ωx）+cos²ωx-$\frac{1}{2}$，ω＞0，其圖象上相鄰三個(gè)最值點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為π．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A滿足f（A）=1且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\sqrt{3}$，求邊BC的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用誘導(dǎo)公式和兩角和公式對函數(shù)解析式化簡整理，根據(jù)題意確定函數(shù)的最小正周期求得ω，進(jìn)而求得函數(shù)的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求得單調(diào)區(qū)間．
（2）根據(jù)題意求得A，進(jìn)而利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算求得bc的值，利用余弦定理表示出BC的表達(dá)式，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求得最小值．

解答 解：（1）（x）=$\sqrt{3}$sin（π-ωx）sin（$\frac{π}{2}$+ωx）+cos²ωx-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$sinωxcosωx+$\frac{1}{2}$cos2ωx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$cos2ωx=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），
∵f（x）_max=1，f（x）_min=-1，兩個(gè)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的距離為T，
∴$\frac{1}{2}$×2×T=π，T=π，
即函數(shù)的最小正周期為π．
T=$\frac{2π}{2ω}$=π，ω=1，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
當(dāng)2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$時(shí)，即kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z時(shí)，函數(shù)單調(diào)增，
當(dāng)2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$時(shí)，即kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z時(shí)，函數(shù)單調(diào)減，
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，
單調(diào)減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
（2）f（A）=sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，A=$\frac{π}{6}$，
$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{3}$，
∴|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=2，即|AB|•|AC|=2，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}-2\sqrt{3}}$≥$\sqrt{2AB•AC-2\sqrt{3}}$=$\sqrt{4-2\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$-1，
故BC的最小值為$\sqrt{3}$-1

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，余弦定理的運(yùn)用．考查了學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用和基礎(chǔ)知識(shí)的運(yùn)用．