Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+ax+a}{x}$，x∈[1，+∞），且a＜1
（1）判斷f（x）的單調(diào)性并證明；
（2）若m滿足f（3m）＞f（5-2m），試確定m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的解析式以及函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，判斷函數(shù)的單調(diào)性．
（2）結(jié)合函數(shù)的定義域以及函數(shù)的單調(diào)性可得3m＞5-2m≥1，由此求得 m的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+ax+a}{x}$=x+a+$\frac{a}{x}$，x∈[1，+∞），且a＜1，
∴當(dāng)x≥1時(shí)，f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$≥0，故函數(shù)f（x）在∈[1，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）若m滿足f（3m）＞f（5-2m），結(jié)合函數(shù)f（x）在∈[1，+∞）上單調(diào)遞增，
可得3m＞5-2m≥1，求得1＜m≤2，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（1，2]．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．