Question

5．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=1，|a_n+1-a_n|=pⁿ，n∈N₊．若{a_n}是遞增數(shù)列，且a₁，2a₂，3a₃成等差數(shù)列，求p的值．

Answer 1

分析 根據(jù)條件去掉式子的絕對(duì)值，分別令n=1，2代入求出a₂和a₃，再由等差中項(xiàng)的性質(zhì)列出關(guān)于p的方程求解，利用“{a_n}是遞增數(shù)列”對(duì)求出的p的值取舍．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，∴a_n+1-a_n＞0，
則|a_n+1-a_n|=pⁿ化為：a_n+1-a_n=pⁿ，
分別令n=1，2可得，a₂-a₁=p，${a}_{3}-{a}_{2}={p}^{2}$，
即a₂=1+p，${a}_{3}={p}^{2}$+p+1，
∵a₁，2a₂，3a₃成等差數(shù)列，∴4a₂=a₁+3a₃，
即4（1+p）=1+3（p²+p+1），
化簡(jiǎn)得3p²-p=0，解得p=$\frac{1}{3}$或0，
當(dāng)p=0時(shí)，數(shù)列a_n為常數(shù)數(shù)列，不符合數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，
∴p=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．