Question

16．求下列函數(shù)的值域：
（1）y=$\frac{5x-1}{4x+2}$，x∈[-3，-1]；
（2）y=2x+$\sqrt{1-2x}$；
（3）y=x+4+$\sqrt{9-{x}^{2}}$；
（4）y=$\frac{2{x}^{2}+4x-7}{{x}^{2}+2x+3}$；
（5）y=log₃x+log_x3-1；
（6）y=$\sqrt{（x+3）^{2}+16}$+$\sqrt{（x-5）^{2}+4}$．

Answer 1

分析 （1）原函數(shù)變成y=$\frac{5}{4}-\frac{7}{5（4x+2）}$，根據(jù)x的范圍求出$\frac{1}{5（4x+2）}$的范圍，從而得出原函數(shù)的值域；
（2）換元，令$\sqrt{1-2x}=t$，t≥0，得到函數(shù)y=-t²+t+1求該二次函數(shù)在[0，+∞）上的值域即可；
（3）x+4移到等號左邊，再平方便可整理成關(guān)于x的方程的形式，根據(jù)方程有解即可得出該函數(shù)的值域；
（4）將原函數(shù)變成$y=2-\frac{13}{{x}^{2}+2x+3}$，由x²+2x+3≥2即可得出該函數(shù)的值域；
（5）應(yīng)用換底公式，原函數(shù)變成y=$lo{g}_{3}x+\frac{1}{lo{g}_{3}x}-1$，這樣應(yīng)用基本不等式即可得出該函數(shù)的值域；
（6）原函數(shù)可變成$y=\sqrt{[x-（-3）]^{2}+（0-4）^{2}}+\sqrt{（x-5）^{2}+（0-2）^{2}}$，這樣可將y看成點（x，0）到點（-3，4）和（5，2）的距離的和，可畫出圖形，根據(jù)圖形便可得出該函數(shù)的值域．

解答 解：（1）$y=\frac{5x-1}{4x+2}=\frac{\frac{5}{4}（4x+2）-\frac{7}{2}}{4x+2}=\frac{5}{4}-\frac{7}{5（4x+2）}$；
-3≤x≤-1；
∴-10≤4x+2≤-2；
∴-50≤5（4x+2）≤-10；
∴$-\frac{1}{10}≤\frac{1}{5（4x+2）}≤-\frac{1}{50}$；
∴$\frac{139}{100}≤y≤\frac{39}{20}$；
∴原函數(shù)值域為$[\frac{139}{100}，\frac{39}{20}]$；
（2）令$\sqrt{1-2x}=t$，t≥0，則2x=1-t²；
∴y=$-{t}^{2}+t+1=-（t-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{5}{4}≤\frac{5}{4}$；
∴原函數(shù)的值域為（-∞，$\frac{5}{4}$]；
（3）由原函數(shù)得：$y-x-4=\sqrt{9-{x}^{2}}$，兩邊平方并整理得：
2x²-2（y-4）x+y²-8y+7=0，可看成關(guān)于x的一元二次方程，在[-3，3]上有解；
∴△=4（y-4）²-8（y²-8y+7）≥0；
解得$4-3\sqrt{2}≤y≤4+3\sqrt{2}$；
∵-3≤x≤3，$\sqrt{9-{x}^{2}}≥0$；
∴1≤x+4≤7，$x+4+\sqrt{9-{x}^{2}}≥1$；
∴原函數(shù)的值域為：$[1，4+3\sqrt{2}]$；
（4）$y=\frac{2{x}^{2}+4x-7}{{x}^{2}+2x+3}=\frac{2（{x}^{2}+2x+3）-13}{{x}^{2}+2x+3}$=$2-\frac{13}{{x}^{2}+2x+3}$；
x²+2x+3=（x+1）²+2≥2；
∴$0＜\frac{1}{{x}^{2}+2x+3}≤\frac{1}{2}$；
∴$-\frac{9}{2}≤y＜2$；
∴原函數(shù)的值域為$[-\frac{9}{2}，2）$；
（5）$y=lo{g}_{3}x+lo{g}_{x}3-1=lo{g}_{3}x+\frac{1}{lo{g}_{3}x}-1$；
①若log₃x＞0，則$lo{g}_{3}x+\frac{1}{lo{g}_{3}x}≥2$，當$lo{g}_{3}x=\frac{1}{lo{g}_{3}x}$，即x=3時取“=”；
∴y≥1；
②若log₃x＜0，則$lo{g}_{3}x+\frac{1}{lo{g}_{3}x}=-（-lo{g}_{3}x+\frac{1}{-lo{g}_{3}x}）≤-2$，$x=\frac{1}{3}$時取“=”；
∴y≤-3；
綜上得原函數(shù)的值域為：（-∞，-3]∪[1，+∞）；
（6）$y=\sqrt{（x+3）^{2}+16}+\sqrt{（x-5）^{2}+4}$=$\sqrt{[x-（-3）]^{2}+（0-4）^{2}}$$+\sqrt{（x-5）^{2}+（0-2）^{2}}$；
∴y表示點（x，0）到點（-3，4）和點（5，2）的距離的和，如下圖所示：設(shè)P（x，0），A（-3，4），B（5，2）；

作B關(guān)于x軸的對稱點C（5，-2），則：
$|AC|=\sqrt{64+36}=10$是|PA|+|PB|的最小值，即y的最小值，并可以到無窮大；
∴原函數(shù)的值域為[10，+∞）．

點評 考查函數(shù)值域的概念，分離常數(shù)、換元，及利用基本不等式求函數(shù)值域的方法，以及將函數(shù)變成關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)方程有解，及利用幾何的方法求函數(shù)的值域，配方法求二次函數(shù)的值域，不等式的性質(zhì)，兩點間的距離公式．