Question

6．若正四面體（四個(gè)面都是正三角形的三棱錐）的棱長(zhǎng)為6，求它的內(nèi)切球的表面積．

Answer 1

分析 求出正三棱錐的高，求出正三棱錐的全面積和體積，設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，以球心O為頂點(diǎn)，以棱錐的四個(gè)面為底面把正三棱錐分割為四個(gè)小棱錐，運(yùn)用等積法可得球的半徑，即可求出球的表面積．

解答 解：由題意，底面外接圓的半徑為$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×6=2$\sqrt{3}$，
∴正三棱錐的高為$\sqrt{{6}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∵正三棱錐的所有棱長(zhǎng)都等于6，
則S_全=4×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×6²=36$\sqrt{3}$．
V_P-ABC=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×36×2$\sqrt{6}$=18$\sqrt{2}$，
設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，以球心O為頂點(diǎn)，
以棱錐的四個(gè)面為底面把正三棱錐分割為四個(gè)小棱錐，
則V₁+V₂+V₃+V₄=$\frac{1}{3}$rS_全=V_P-ABC，
∴r=$\frac{3×18\sqrt{2}}{36\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴S球=4πr²=4π×$\frac{6}{4}$=6π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正三棱錐與內(nèi)切球的關(guān)系，主要考查球的表面積公式的計(jì)算，確定球的半徑是關(guān)鍵．