Question

如圖，已知三角形△ABC與△BCD所在平面相互垂直，且∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD，點P，Q分別在線段BD，CD上，沿直線PQ將△PQD向上翻折，使D與A重合．

（Ⅰ）求證：AB⊥CQ；

（Ⅱ）求BP的長；

（Ⅲ）求直線AP與平面BCD所成的角．

 

Answer 1

（I）見解析;（Ⅱ）1;（Ⅲ）45°

【解析】

試題分析：（I）由面ABC⊥面BCQ又CQ⊥BC推出CQ⊥面ABC,再推出CQ⊥AB;（Ⅱ）作AO⊥BC，垂足為O，則AO⊥平面BCQ，連接OP，由沿直線PQ將△PQD向上翻折，使D與A重合可知AP=DP即，解得BP=1;（Ⅲ）由（Ⅱ）知AO⊥平面BCD，所以∠APO是直線AP與平面BCD所成的角，，因此直線AP與平面BCD所成的角為45°.

試題解析：（I）證明：∵面ABC⊥面BCQ 又CQ⊥BC

∴CQ⊥面ABC

∴CQ⊥AB；

（Ⅱ）【解析】
作AO⊥BC，垂足為O，則AO⊥平面BCQ，連接OP，

設AB=1，則BD=2，設BP=x，

由題意AP=DP，

∴，

∴x=1；

（Ⅲ）【解析】
由（Ⅱ）知AO⊥平面BCD，

∴∠APO是直線AP與平面BCD所成的角，

∴∠APO=45°，

∴直線AP與平面BCD所成的角為45°．

考點：1.空間直線的位置關系的判定;2.空間兩點間的距離;3.線面角的求解