Question

17．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面為正三角形，側(cè)棱垂直底面，AB=4，AA₁=6．若E，F(xiàn)分別是棱BB₁，CC₁上的點(diǎn)，且$BE={B_1}E，{C_1}F=\frac{1}{3}C{C_1}$，則異面直線(xiàn)A₁E與AF所成角的余弦值為（　　）

• A． $-\frac{{\sqrt{2}}}{6}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{6}$
• C． $-\frac{{\sqrt{2}}}{10}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{10}$

Answer 1

分析 由題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求得$\overrightarrow{{A}_{1}E}$與$\overrightarrow{AF}$所成角的余弦值，即可得到異面直線(xiàn)A₁E與AF所成角的余弦值．

解答 解：以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

∵AB=4，AA₁=6，且$BE={B_1}E，{C_1}F=\frac{1}{3}C{C_1}$，
∴A（0，-2，0），A₁（0，-2，6），E（0，2，3），F(xiàn)（-2$\sqrt{3}$，0，4），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}E}=（0，4，-3）$，$\overrightarrow{AF}=（-2\sqrt{3}，2，4）$．
則cos＜$\overrightarrow{{A}_{1}E}，\overrightarrow{AF}$＞=$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}E}•\overrightarrow{AF}}{|\overrightarrow{{A}_{1}E}||AF|}$=$\frac{-4}{5×4\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{10}$．
∴異面直線(xiàn)A₁E與AF所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{10}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線(xiàn)所成角，訓(xùn)練了利用空間向量求異面直線(xiàn)所成角，是中檔題．