Question

19．邊長為2的等邊△ABC的面積為$\sqrt{3}$，若D為BC的中點，點E滿足$\overrightarrow{CE}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$，則$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{CB}$=-$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 ①根據(jù)三角形的面積公式即可求出等邊△ABC的面積；
②畫出圖形，結(jié)合圖形，表示出$\overrightarrow{DE}$，計算$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{CB}$的值．

解答 解：①邊長為2的等邊△ABC的面積為
S_△ABC=$\frac{1}{2}$•|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•sin60°=$\frac{1}{2}$×2×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$；

②如圖所示，D為BC的中點，點E滿足$\overrightarrow{CE}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$，
∴$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{CE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CA}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CA}$，
∴$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{CB}$=（-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CA}$）•$\overrightarrow{CB}$
=-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{CB}}^{2}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$
=-$\frac{1}{2}$×2²+$\frac{1}{3}$×2×2×cos60°
=-$\frac{4}{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$，$-\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了三角形的面積公式與平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．