Question

【題目】已知函數(shù)，給出下列關(guān)于的性質(zhì)：

①是周期函數(shù)，3是它的一個(gè)周期；

②是偶函數(shù)；

③方程有有理根；

④方程與方程的解集相同；

⑤是周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期．

其中正確的個(gè)數(shù)為（　　）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

Answer 1

【答案】A

【解析】

本題綜合的考查了函數(shù)的性質(zhì)，可以根據(jù)周期函數(shù)、函數(shù)奇偶性結(jié)合方程思想，特殊值代入驗(yàn)證法，對(duì)五個(gè)結(jié)論逐一進(jìn)行判斷，最后得到結(jié)論．

當(dāng)T=3，則當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，x+3也為有理數(shù)，則f(x+3)=f(x)；

則當(dāng)x為有無理數(shù)時(shí)，x+3也為無理數(shù)，則f(x+3)=f(x)；

故T為函數(shù)的周期，即f(x)是周期函數(shù)，3是它的一個(gè)周期，

故①正確；

若x為有理數(shù)，則x也為有理數(shù)，則f(x)=f(x)；

若x為無理數(shù)，則x也為無理數(shù)，則f(x)=f(x)；

故f(x)是偶函數(shù)，故②正確；

存在有理數(shù)0，使得f(x)=cosx=0成立，

故方程f(x)=cosx有有理根，即③正確；

方程f[f(x)]=f(x)可等價(jià)變形為f(x)=1，

故方程f[f(x)]=f(x)與方程f(x)=1的解集相同，

故④正確；

當(dāng)T=是它的一個(gè)周期，則當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，x+為無理數(shù)，

則f(x+)，則不是周期函數(shù)，

故⑤不正確；

綜上，正確的個(gè)數(shù)為4個(gè).

故選：A.