Question

【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，且橢圓的短軸長為2，分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，分別為橢圓的左，右頂點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在第一象限，且軸，連接交橢圓于點(diǎn)，直線的斜率為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若三角形的面積等于四邊形的面積，求的值；

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，射線（為原點(diǎn)）與橢圓交于點(diǎn)，滿足，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

（I）根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線求得，根據(jù)短軸長求得，由此求得，進(jìn)而求得橢圓方程.（II）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，令求得點(diǎn)坐標(biāo).利用三角形的面積公式計(jì)算出和的面積，根據(jù)題目已知條件，這兩個(gè)三角形的面積相等，由此列方程，解方程求得的值.（III）根據(jù)（II）求得點(diǎn)坐標(biāo)，由此求得的斜率，設(shè)所在直線方程為，代入橢圓方程，求得點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算出到直線的距離，的長度，化簡得到，利用列方程，解方程求得的值.

解：（Ⅰ）由已知得，，故，橢圓方程為：，

（Ⅱ）設(shè)直線方程為∴

∴∴

∴，令∴

∴

∴

∵∴

（Ⅲ）由（II）和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得，設(shè)所在直線方程為，則

，∴∴，

到直線的距離：，，

∴

即，

，化簡得，

∵，∴.