Question

2．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，過點F作斜率為k₁的直線與拋物線C交于A，B兩點，A，B兩點到x軸的距離之積為2p．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若M點的坐標為（4，0），延長AM，BM交拋物線于C，D兩點，設直線CD的斜率為k₂，求$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得${y}^{2}-\frac{2p}{{k}_{1}}y-{p}^{2}$=0，則A，B兩點到x軸的距離之積為|y₁y₂|=p²，結合已知求出p值，可得拋物線C的方程；
（2）C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），則k₁=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\frac{1}{4}（{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}）}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，同理k₂=$\frac{4}{{y}_{3}+{y}_{4}}$，由此利用直線方程結合已知條件能求出 $\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$的值．

解答 解：（1）∵拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F坐標為（$\frac{p}{2}$，0），
故過點F作斜率為k₁的直線方程為：y=k₁（x-$\frac{p}{2}$），
聯(lián)立拋物線C：y²=2px（p＞0）可得：${y}^{2}-\frac{2p}{{k}_{1}}y-{p}^{2}$=0，
設A，B兩點的坐標為：（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則y₁y₂=-p²，則A，B兩點到x軸的距離之積為p²，
即p²=2p，
解得：p=2，
故拋物線C的方程為：y²=4x；
（2）設C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
則k₁=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\frac{1}{4}（{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}）}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，同理k₂=$\frac{4}{{y}_{3}+{y}_{4}}$，
設AC所在的直線方程為y=m（x-4），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=m（x-4）\\{y}^{2}=4x\end{array}\right.$，得my²-4y-16m=0，
∴y₁y₃=-16，同理，y₂y₄=-16，
∴$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=$\frac{\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}}{\frac{4}{{y}_{3}+{y}_{4}}}$=$\frac{{y}_{3}+{y}_{4}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{（\frac{{y}_{1}}{-16}）+（\frac{{y}_{2}}{-16}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{-16}{{y}_{1}•{y}_{2}}$=$\frac{-16}{-4}$=4

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查斜率的計算，考查學生的計算能力，屬于中檔題．