Question

12．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{75}$=1被直線l截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．
（1）求直線l的方程；
（2）求截得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)l與橢圓的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程，兩式相減，得k_AB，由此能求出l的方程；
（2）y=3x-2代入橢圓方程，整理可得12x²-12x-71=0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，即可求得截得的弦長(zhǎng)．

解答 解：（1）設(shè)l與橢圓的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入橢圓方程，兩式相減，得k_AB=-$\frac{75（{x}_{1}+{x}_{2}）}{25（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=3，
∴l(xiāng)的方程為：y+$\frac{1}{2}$=3（x-$\frac{1}{2}$），即3x-y-2=0；
（2）y=3x-2代入橢圓方程，整理可得12x²-12x-71=0，
∴x₁+x₂=1，x₁x₂=-$\frac{71}{12}$，
∴截得的弦長(zhǎng)為$\sqrt{1+9}$•$\sqrt{1+4•\frac{71}{12}}$=$\frac{2\sqrt{555}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的中點(diǎn)弦的求法，考查點(diǎn)差法的合理運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．