如圖所示,在三棱錐中,平面,,分別是的中點,,交于,交于點,連接。

(Ⅰ)求證:
(Ⅱ)求二面角的余弦值。
(Ⅰ)見解析 (Ⅱ)
解法一 (Ⅰ)在中,分別是的中點,則的重心,
同理,所以,因此
又因為的中位線,所以.
(Ⅱ)解法1 因為 ,所以,又,
所以平面平面
為二面角的平面角,
不妨設(shè)由三角形知識可得
由余弦定理得
解法2分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系,不妨設(shè)
設(shè)平面的法向量為,則
,所以,令
同理求得平面的一個法向量為
因此
由圖形可知二面角的余弦值為
解法二(Ⅰ)證明:因為分別是的中點,
所以,,所以
平面,平面
所以∥平面,
平面,平面平面,
所以,
,
所以.
(Ⅱ)解法一:在△中, ,,
所以,即,因為平面,所以,
,所以平面,由(Ⅰ)知,
所以平面,又平面,所以,同理可得,
所以為二面角的平面角,設(shè),連接,
中,由勾股定理得,
中,由勾股定理得,,
為△的重心,所以
同理 ,
在△中,由余弦定理得
即二面角的余弦值為.
解法二:在△中,,,
所以,又平面,所以兩兩垂直,
為坐標原點,分別以所在直線為軸,軸,軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,設(shè),則,,,,,,所以,,,,
設(shè)平面的一個法向量為
,,

,得.
設(shè)平面的一個法向量為
,

,得.所以
因為二面角為鈍角,所以二面角的余弦值為.
【考點定位】本題考查了空間直線的位置關(guān)系的判定和二面角的求法,考查了空間想象能力、推理論證能力和運算能力。第一問主要涉及平面幾何的圖形性質(zhì),中點形成的平行線是常考點之一,論證較為簡單。第二問有兩種方法可以解決,因圖形結(jié)構(gòu)的簡潔性,推理論證較為簡單,而利用空間向量運算求解二面角就相對復(fù)雜了.
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