Question

如圖，在直線三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=AC=1，∠BAC=90°，異面直線A₁B與B₁C₁所成的角為60°．

（Ⅰ）求證：AC⊥A₁B；
（Ⅱ）設(shè)D是BB₁的中點(diǎn)，求DC₁與平面A₁BC₁所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）本題關(guān)鍵是證明平面（Ⅱ）

試題分析：解:(Ⅰ)三棱柱是直三棱柱,
平面,.
又,平面
平面,
平面,從而.                 
(Ⅱ)如圖,以點(diǎn)為原點(diǎn),為軸正方向,線段長度為單位長度,建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè),則,,,
則
由于直線與所成的角為,
所以,.           
,,設(shè)平面的法向量,
,可取.,.     
于是,
所以與平面所成角的正弦值為.
點(diǎn)評：在立體幾何中，常考的定理是：直線與平面垂直的判定定理、直線與平面平行的判定定理。當(dāng)然，此類題目也經(jīng)常要我們求出幾何體的體積和表面積。