Question

（本小題滿分12）如圖①在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E，F，G分別是線段PC、PD，BC的中點，現將ΔPDC折起，使PD⊥平面ABCD（如圖②）
（1）求證AP∥平面EFG；
（2）求平面EFG與平面PDC所成角的大小；
（3）求點A到平面EFG的距離。

Answer 1

解法一：（Ⅰ）如圖. 以D為坐標原點，直線DA、DC、DP分別為與z軸建立空間直角坐標系：                                    
則    
    
設平面GEF的法向量，由法向量的定義得：

不妨設 z=1，  則              
    ，點P平面EFG
∴AP∥平面EFG   
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面GEF的法向量         ，
因平面EFD與坐標平面PDC重合，則它的一個法向量為=（1，0，0）
設平面間的夾角為.   則       
故夾角的大小為45°。
（Ⅲ） ，  
解法二：（1）∵EF∥CD∥AB，EG∥PB，根據面面平行的判定定理
∴平面EFG∥平面PAB，又PA面PAB，∴AP∥平面EFG
（2）∵平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC
∴AD⊥平面PCD，而BC∥AD，∴BC⊥面EFD
過C作CR⊥EF交EF延長線于R點連GR，根據三垂線定理知
∠GRC即為二面角的平面角，∵GC=CR，∴∠GRC=45°，
故平面間的夾角大小為45°。  （3）同上

略