Question

10．若tan²α+cot²α=2，則sinαcosα=$-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知求出tanα=±1，由sinαcosα=$\frac{1}{2}sin2α$，然后利用萬能公式求得答案．

解答 解：由tan²α+cot²α=2，得$ta{n}^{2}α+\frac{1}{ta{n}^{2}α}=2$，即tan⁴α-2tan²α+1=0，
解得：tan²α=1，即tanα=±1．
∴sinαcosα=$\frac{1}{2}sin2α$=$\frac{1}{2}•\frac{2tanα}{1+ta{n}^{2}α}=\frac{tanα}{1+ta{n}^{2}α}$．
當tanα=1時，sinαcosα=$\frac{1}{2}$；
當tanα=-1時，sinαcosα=$-\frac{1}{2}$．
故答案為：$-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查同角三角函數(shù)基本關系式的應用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，是基礎題．