Question

5．如圖，矩形ABCD中，AB=2AD=2，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A₁DE．若M為線段A₁C的中點，在△ADE翻折的過程中，有下列命題：
①BM是定值；
②點M在表面積為5π的球面上運動；
③存在某個位置，使DE⊥A₁C；
④存在某個位置，使MB∥平面A₁DE；
⑤三棱錐A₁-CDE體積的最大值是$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
其中，所有正確命題的個數(shù)是（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 由已知求出ED²=2=CE²，CD²=4，CE⊥ED，由余弦定理可得MB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，從而得到BM是定值，點M在表面積為5π的球面上運動；若DE⊥A₁C，則DE⊥平面A₁CE與DA₁⊥A₁E矛盾；取CD中點F，則MF∥DA₁，BF∥DE，從而MB∥平面A₁DE；當(dāng)平面A′DE⊥平面EBCD時，三棱錐A₁-CDE體積取最大值．

解答 解：由矩形ABCD中，AB=2AD=2，E為邊AB的中點，可得ED²=1²+1²=2=CE²，CD²=2²=4，
∴CE²+ED²=CD²，∴∠CED=90°，∴CE⊥ED．
取CD中點F，連結(jié)MF、BF，則MF∥A₁D，且MF=$\frac{1}{2}{A}_{1}D$，BF∥DE，BF=DE，
∴∠A₁DE=∠A₁ED=MFB=45°．
由余弦定理得MB²=$\frac{5}{4}$．
∴MB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴BM是定值，點M在表面積為5π的球面上運動，
故①②正確；
若DE⊥A₁C，CE⊥ED，A₁C∩CE=C，則DE⊥平面A₁CE，∴DE⊥A₁E，與DA₁⊥A₁E矛盾，∴③不正確；
取CD中點F，連接MF，BF，則MF∥DA₁，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A₁DE，
∴MB∥平面A₁DE，故④正確；
當(dāng)平面A′DE⊥平面EBCD時，三棱錐A₁-CDE體積取最大值，
此時高h(yuǎn)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，${S}_{△DEC}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$，${V}_{{A}_{1}-CDE}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}×1$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$，故⑤正確．
故選：C．

點評 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意余弦定理、勾股定理、線面垂直、面面垂直的性質(zhì)的合理運用．