Question

10．設(shè)拋物線(xiàn)y²=4mx（m＞0）的準(zhǔn)線(xiàn)與x軸交于F₁，焦點(diǎn)為F₂；以F₁、F₂為焦點(diǎn)，離心率e=$\frac{1}{2}$的橢圓與拋物線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)為$E（\frac{2}{3}，\frac{{2\sqrt{6}}}{3}）$；自F₁引直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于P、Q兩個(gè)不同的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)記為M，設(shè)$\overrightarrow{{F_1}P}=λ\overrightarrow{{F_1}Q}$．
（Ⅰ）求拋物線(xiàn)的方程和橢圓的方程；
（Ⅱ）若$λ∈[\frac{1}{2}，1）$，求|PQ|的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)滿(mǎn)足橢圓方程，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓的方程；再由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得m=1，進(jìn)而得到拋物線(xiàn)的方程；
（Ⅱ）記P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），運(yùn)用向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示和聯(lián)立直線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，及基本不等式，即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由E在橢圓上，得$\frac{4}{{9{a^2}}}+\frac{24}{{9{b^2}}}=1$①，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{1}{2}$ ②
由①、②解得a²=4，b²=3，
橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
可得焦點(diǎn)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
可得拋物線(xiàn)y²=4mx（m＞0）的準(zhǔn)線(xiàn)為x=-m，
即有m=1，易得拋物線(xiàn)的方程是：y²=4x；
（Ⅱ）記P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
由$\overrightarrow{{F_1}P}=λ\overrightarrow{{F_1}Q}$得：y₁=λy₂，③
設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為y=k（x+1），
與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，得：ky²-4y+4k=0，
即有y₁y₂=4，④y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，⑤
由③④⑤消去y₁，y₂得：${k^2}=\frac{4λ}{{{{（λ+1）}^2}}}$，
則$|PQ|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}|{y_2}-{y_1}|$，
由弦長(zhǎng)公式得：$|PQ|=\sqrt{（1+\frac{1}{k^2}）}\frac{{\sqrt{16-16{k^2}}}}{|k|}$
化簡(jiǎn)為：$|PQ{|^2}=\frac{{16-16{k^4}}}{k^4}$，
代入λ，可得|PQ|²=$\frac{（λ+1）^{4}}{{λ}^{2}}$-16=（λ+$\frac{1}{λ}$+2）²-16，
∵$λ∈[\frac{1}{2}，1）$，∴$λ+\frac{1}{λ}∈（2，\frac{5}{2}]$，
于是：$0＜|PQ{|^2}≤\frac{17}{4}$，
即有$|PQ|∈（0，\frac{{\sqrt{17}}}{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓和拋物線(xiàn)的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的離心率和點(diǎn)滿(mǎn)足橢圓方程，以及拋物線(xiàn)的性質(zhì)，考查向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示，聯(lián)立直線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，考查運(yùn)算化簡(jiǎn)能力，屬于中檔題．