【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).
(ⅰ)求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(ⅱ)求證:.(其中為的極小值點(diǎn))
【答案】(1);(2)(。;(ⅱ)證明見解析.
【解析】
1先求其導(dǎo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為,即求的最小值即可;
2結(jié)合第一問的結(jié)論得不單調(diào),故;設(shè)有兩個(gè)根,設(shè)為,,且,可得原函數(shù)的單調(diào)性,把問題轉(zhuǎn)化為,即可求解結(jié)論.
轉(zhuǎn)化為先證明不等式,若,,,則再把原結(jié)論成立轉(zhuǎn)化為證;構(gòu)造函數(shù)一步步推其成立即可.
(1)由,得,
設(shè),;則;
由,解得,
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
所以
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增,所以在恒成立
所以;
所以,實(shí)數(shù)的取值范圍是:.
(2)(i)因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),不單調(diào),所以.
因此有兩個(gè)根,設(shè)為,且,
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;
又,,當(dāng)充分大時(shí),取值為正,因此要使得有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則必須有,即;
又因?yàn)?/span>;
所以:,解得,所以;
因此當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍是.
(ⅱ)先證明不等式,若,,則.
證明:不妨設(shè),即證,
設(shè),,,
只需證且;
因?yàn)?/span>,,
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
所以,,從而不等式得證.
再證原命題.
由得;
所以,兩邊取對(duì)數(shù)得:;
即.
因?yàn)?/span>,
所以,
因此,要證.
只需證;
因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增,,所以只需證,
只需證,即證,其中;
設(shè),,只需證;
計(jì)算得;
.
由在上單調(diào)遞增,
得,
所以;即在上單調(diào)遞減,
所以:;
即在上單調(diào)遞增,所以成立,即原命題得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】橢圓的焦點(diǎn)為和,過(guò)的直線交于兩點(diǎn),過(guò)作與軸垂直的直線,又知點(diǎn),直線記為,與交于點(diǎn).設(shè),已知當(dāng)時(shí),.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)求證:無(wú)論如何變化,點(diǎn)的橫坐標(biāo)是定值,并求出這個(gè)定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若,直線與曲線和曲線都相切,切點(diǎn)分別為,,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著食品安全問題逐漸引起人們的重視,有機(jī)、健康的高端綠色蔬菜越來(lái)越受到消費(fèi)者的歡迎,同時(shí)生產(chǎn)—運(yùn)輸—銷售一體化的直銷供應(yīng)模式,不僅減少了成本,而且減去了蔬菜的二次污染等問題.
(1)在有機(jī)蔬菜的種植過(guò)程中,有機(jī)肥料使用是必不可少的.根據(jù)統(tǒng)計(jì)某種有機(jī)蔬菜的產(chǎn)量與有機(jī)肥料的用量有關(guān)系,每個(gè)有機(jī)蔬菜大棚產(chǎn)量的增加量(百斤)與使用堆漚肥料(千克)之間對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表
使用堆漚肥料(千克) | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
產(chǎn)量的增加量(百斤) | 3 | 4 | 4 | 4 | 5 |
依據(jù)表中的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程;并根據(jù)所求線性回歸方程,估計(jì)如果每個(gè)有機(jī)蔬菜大棚使用堆漚肥料10千克,則每個(gè)有機(jī)蔬菜大棚產(chǎn)量增加量是多少百斤?
(2)某大棚蔬菜種植基地將采摘的有機(jī)蔬菜以每份三斤稱重并保鮮分裝,以每份10元的價(jià)格銷售到生鮮超市.“樂購(gòu)”生鮮超市以每份15元的價(jià)格賣給顧客,如果當(dāng)天前8小時(shí)賣不完,則超市通過(guò)促銷以每份5元的價(jià)格賣給顧客(根據(jù)經(jīng)驗(yàn),當(dāng)天能夠把剩余的有機(jī)蔬菜都低價(jià)處理完畢,且處理完畢后,當(dāng)天不再進(jìn)貨).該生鮮超市統(tǒng)計(jì)了100天有機(jī)蔬菜在每天的前8小時(shí)內(nèi)的銷售量(單位:份),制成如下表格(注:,且);
前8小時(shí)內(nèi)的銷售量(單位:份) | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
頻數(shù) | 10 | x | 16 | 6 | 15 | 13 | y |
若以100天記錄的頻率作為每日前8小時(shí)銷售量發(fā)生的概率,該生鮮超市當(dāng)天銷售有機(jī)蔬菜利潤(rùn)的期望值為決策依據(jù),當(dāng)購(gòu)進(jìn)17份比購(gòu)進(jìn)18份的利潤(rùn)的期望值大時(shí),求的取值范圍.
附:回歸直線方程為,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】芻甍,中國(guó)古代算術(shù)中的一種幾何圖形,《九章算術(shù)》中記載“芻甍者,下有褒有廣,而上有褒無(wú)廣”芻,草也;甍,屋蓋也.翻譯為“底面有長(zhǎng)有寬為矩形,頂部只有長(zhǎng)沒有寬為一條棱,芻甍字面意思為茅草屋頂”如圖,為一芻甍的三視圖,其中正視圖為等腰梯形,側(cè)視圖為等腰三角形,若用茅草搭建它(無(wú)底面,不考慮厚度),則需要覆蓋的面積至少為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在中, 分別為的中點(diǎn),點(diǎn)為線段上的一點(diǎn),將沿折起到的位置,使,如圖2.
(1)求證: ;
(2)線段上是否存在點(diǎn),使平面?說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四面體中,已知,.
(1)當(dāng)四面體體積最大時(shí),求的值;
(2)當(dāng)時(shí),設(shè)四面體的外接球球心為,求和平面所成夾角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給出下列說(shuō)法:①“”是“”的充分不必要條件;②命題“,”的否定是“,”;③小趙、小錢、小孫、小李到4個(gè)景點(diǎn)旅游,每人只去一個(gè)景點(diǎn),設(shè)事件為“4個(gè)人去的景點(diǎn)不相同”,事件為“小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”,則;④設(shè),其正態(tài)分布密度曲線如圖所示,那么向正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn),則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值是6587.(注:若,則,)其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為( )
A.1B.2C.3D.4
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