15.已知α-β=$\frac{π}{3}$,且cosα-cosβ=$\frac{1}{3}$,則cos(α+β)=( 。
A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{2}{3}$C.$\frac{7}{9}$D.$\frac{8}{9}$

分析 用β表示α,代入條件式得出sin($β+\frac{π}{6}$),而cos(α+β)=cos(2β$+\frac{π}{3}$),使用二倍角公式即可求出答案.

解答 解:∵α-β=$\frac{π}{3}$,∴$α=β+\frac{π}{3}$,
∵cosα-cosβ=$\frac{1}{3}$,即cos($β+\frac{π}{3}$)-cosβ=$\frac{1}{3}$,
∴$\frac{1}{2}$cosβ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinβ=-$\frac{1}{3}$,即sin($β+\frac{π}{6}$)=-$\frac{1}{3}$.
∴cos(α+β)=cos(α-β+2β)=cos(2β$+\frac{π}{3}$)=cos2($β+\frac{π}{6}$)=1-2sin2($β+\frac{π}{6}$)=1-2×(-$\frac{1}{3}$)2=$\frac{7}{9}$.
故選:C.

點評 本題考查了兩角和差的余弦函數(shù),二倍角公式,根據角的特點選擇合適的三角公式是解決本題的難點.

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