【題目】如圖所示,菱形與正方形
所在平面相交于
.
(1)求作平面與平面
的交線
,并說明理由;
(2)若與
垂直且相等,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)過點作
的平行線
,理由見解析;(2)
.
【解析】
(1)過點作
的平行線
,然后證明
與
平行,證明四邊形
為平行四邊形即可;
(2)取的中點
,以其為坐標原點,建立空間直角坐標系,用向量坐標法求解即可.
解:(1)過點作
的平行線
即可,下面予以證明.
由已知易得,和
都與
平行且相等,即
與
平行且相等.
所以四邊形是平行四邊形,于是
.
又平面
,且
平面
,
平面
.
又平面
,且
平面
,
.
(2)由,
且
,得
平面
.
由可得,
是正三角形.
取的中點
,則
.
建立如圖所示的空間直角坐標系.
設,則
,
,
,
.
,
,
.
設平面的一個法向量
,即
,
令,則
,
得平面的一個法向量
設平面的一個法向量
,即
,
令,則
,
得平面的一個法向量
.
所以.
故二面角余弦值為
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,是以
為直徑的圓上一點,
,等腰梯形
所在的平面垂直于⊙
所在的平面,且
.
(1)求與
所成的角;
(2)若異面直線和
所成的角為
,求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(
為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為
.
(1)寫出曲線C1和C2的直角坐標方程;
(2)已知P為曲線C2上的動點,過點P作曲線C1的切線,切點為A,求|PA|的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知橢圓C:(a>b>0)的短軸長為2,F1,F2分別是橢圓C的左、右焦點,過點F2的動直線與橢圓交于點P,Q,過點F2與PQ垂直的直線與橢圓C交于A、B兩點.當直線AB過原點時,PF1=3PF2.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若點H(3,0),記直線PH,QH,AH,BH的斜率依次為,
,
,
.
①若,求直線PQ的斜率;
②求的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知平面直角坐標系,直線
過點
,且傾斜角為
,以
為極點,
軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,圓
的極坐標方程為
.
(1)求直線的參數(shù)方程和圓
的標準方程;
(2)設直線與圓
交于
、
兩點,若
,求直線
的傾斜角的
值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在國家批復成立江北新區(qū)后,南京市政府規(guī)劃在新區(qū)內的一條形地塊上新建一個全民健身中心,規(guī)劃區(qū)域為四邊形ABCD,如圖,
,點B在線段OA上,點C、D分別在射線OP與AQ上,且A和C關于BD對稱.已知
.
(1)若,求BD的長;
(2)問點C在何處時,規(guī)劃區(qū)域的面積最小?最小值是多少?
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【題目】已知函數(shù).
(1)討論的極值點的個數(shù);
(2)設函數(shù),
,
為曲線
上任意兩個不同的點,設直線
的斜率為
,若
恒成立,求
的取值范圍.
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【題目】某便利店統(tǒng)計了今年第一季度各個品類的銷售收入占比和凈利潤占比,并將部分品類的這兩個數(shù)據(jù)制成如下統(tǒng)計圖(注:銷售收入占比,凈利潤占比
,凈利潤
銷售收入
成本
各類費用),現(xiàn)給出下列判斷:
①該便利店第一季度至少有一種品類是虧損的;
②該便利店第一季度的銷售收入中“生鮮類”貢獻最大;
③該便利店第一季度“非生鮮食品類”的凈利潤一定高于“日用百貨”的銷售收入;
④該便利店第一季度“生鮮類”的銷售收入比“非生鮮食品類”的銷售收入多.
則上述判斷中正確的是( )
A.①②B.②③C.①④D.③④
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