Question

某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬(wàn)元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y（單位：萬(wàn)元）隨銷售利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的25%，現(xiàn)有四個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y=

1

4

x，y=lgx+1，y=（

3

2

）^x，y=

x

，其中能符合公司要求的模型是（　　）

• A、y=

  1

  4

  x
• B、y=lgx+1
• C、y=（

  3

  2

  ）^x
• D、y=

  x

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用,對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的增長(zhǎng)差異

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過(guò)5；③y≤x•25%，然后一一驗(yàn)證即可．

解答： 解：由題意，符合公司要求的模型需同時(shí)滿足：當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過(guò)5；③y≤x•25%，
對(duì)于y=

1

4

x，易知滿足①，但當(dāng)x＞20時(shí)，y＞5，不滿足公司的要求；
對(duì)于y=(

3

2

)x，易知滿足①，∵1.5⁴＞5，故當(dāng)x＞4時(shí)，不滿足公司的要求；
對(duì)于y=

x

，易知滿足①，∵當(dāng)x＞25時(shí)，y＞5，不滿足公司的要求；
對(duì)于y=lgx+1，易知滿足①，當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)時(shí)，2≤y≤4滿足②
再證明lg+1≤x•25%，即2lgx+4-x≤0，
設(shè)F（x）=2lgx+4-x，則F′（x）=

2

xln10

-1＜0，x∈[10，1000]…（10分）
∴F（x）在[10，1000]上為減函數(shù)，F(xiàn)（x）_max=F（10）=2lg10+4-10=-4＜0，滿足③
綜上，獎(jiǎng)勵(lì)模型y=lgx+1能完全符合公司的要求．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)F（x）=2lgx+4-x，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性與最值是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)所在，突出考查轉(zhuǎn)化思想與綜合分析的能力，屬于難題．