Question

1．過(guò)拋物線x²=4y焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M．
（1）證明：$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{AB}$為定值；
（2）設(shè)△MAB的面積為S，試求S的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出過(guò)拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線方程，可得M的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式，即可證明：$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{AB}$為定值；
（2）用k表示△MAB的面積S，即可求S的最小值．

解答 （1）證明：焦點(diǎn)F（0，1），設(shè)直線AB：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}=4y\end{array}\right.⇒{x^2}-4kx-4=0$，則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
拋物線方程為$y=\frac{1}{4}{x^2}$，求導(dǎo)得$y'=\frac{1}{2}x$．
則過(guò)拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線方程分別是$y=\frac{1}{2}{x_1}（x-{x_1}）+{y_1}，{y_2}=\frac{1}{2}（x-{x_2}）+{y_2}$，
即$y=\frac{1}{2}{x_1}x-\frac{1}{4}x_1^2，y=\frac{1}{2}{x_2}x-\frac{1}{4}x_2^2$．
解出兩條切線的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為$（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，\frac{{{x_1}{x_2}}}{4}）=（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，-1）$=（2k，-1），
∴$\overrightarrow{FM}$=（2k，-2），$\overrightarrow{AB}$=（1，k），$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{AB}=2k-2k=0$，即FM⊥AB…．（6分）
（2）解：點(diǎn)M到直線AB的距離$|{FM}|=2\sqrt{1+{k^2}}$，
所以${S_{△MAB}}=\frac{1}{2}|{AB}||{FM}|=4（{1+{k^2}}）\sqrt{1+{k^2}}$，
令$t=\sqrt{1+{k^2}}（{t≥1}）$，則S=4t³（t≥1），
易知當(dāng)t=1，即k=0時(shí)，S的最小值為4．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．