Question

7．已知函數(shù)f（x）=2+$\frac{m}{{2}^{x}-1}$（m∈R）為奇函數(shù)．
（1）求m的值；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間，并給予證明；
（3）記g（x）=（x²-1）f（log₂x）+k•x²，若函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用f（-1）=2-2m=-f（1）=-2-m，求m的值；
（2）利用導數(shù)求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間，并給予證明；
（3）g（x）=（x²-1）（2+$\frac{4}{{2}^{lo{g}_{2}x-1}}$）+k•x²=（k+2）x²+4x+2，分類討論，利用函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，即可求實數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）由題意，f（-1）=2-2m=-f（1）=-2-m，
∴m=4；
（2）f（x）=2+$\frac{4}{{2}^{x}-1}$，
∴f′（x）=-$\frac{4•{2}^{x}ln2}{（{2}^{x}-1）^{2}}$＜0，
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，0），（0，+∞）；
（3）g（x）=（x²-1）（2+$\frac{4}{{2}^{lo{g}_{2}x-1}}$）+k•x²
=（k+2）x²+4x+2
①k=-2時，g（x）=4x+2在（0，1）上遞增，滿足條件；
②$\left\{\begin{array}{l}{k+2＞0}\\{-\frac{4}{2（k+2）}≤0}\end{array}\right.$，∴k＞-2；
③$\left\{\begin{array}{l}{k+2＜0}\\{-\frac{4}{2（k+2）}≥1}\end{array}\right.$，∴-4≤k＜-2．
綜上，k≥-4．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．